Liczby zespolone czyli o przekraczaniu granic w matematyce

Liczby zespolone czyli o przekraczaniu nieprzekraczalnych granic w matematyce

Matematyka wydaje się być ustandaryzowaną dziedziną, którą rządzą żelazne reguły. Nie można dzielić przez zero albo nie można obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Czy jednak na pewno tak jest? Matematycy to często bardzo ścisłe umysły, którzy próbują przekraczać pewne granice i odkrywać co się wydarzy gdy tak się stanie. I tak było z odkryciem liczb zespolonych, czyli sposobem na odkrycie wyniku równania x^2=pierwisatek z minus 1.

Ta nieco abstrakcyjna (nie bez powodu liczby te nazywają się liczbami urojonymi) dziedzina może wydawać się nieco trudna do zrozumienia, a przez to pomijana przez większość osób. Warto jednak wiedzieć, że bez tych liczb nie można by zapisywać dźwięku czy obrazu w komputerach. A to tylko dwa z naprawdę tysięcy zastosowań tych liczb. I ponieważ są one tak powszechne i tak potrzebne chcielibyśmy przedstawić Wam w pełni kompleksowe, ale najbardziej proste i zrozumiałe wyjaśnienie tego tematu.

Tak aby każdy i każda z Was, nawet uważająca się za humanistę mogła zrozumieć i poznać jak fascynująca to jest dziedzina.

Zapraszamy Was więc na niezwykle ciekawą i rozwijającą umysł przygodę po świecie liczb urojonych.

Spis treści

Klikając w odpowiedni rozdział strona automatycznie przewinie się do określonego fragmentu.

Rozdział 1 - historia

Rozdział 2 - o co właściwie chodzi

Rozdział 3 - zastosowanie liczb zespolonych

Rozdział 4 - liczby jeszcze bardziej złożone

Rozdział I - historia

Historia liczb zespolonych jest fascynująca i pełna odkryć, które stopniowo rozszerzały granice matematyki. Poniżej znajdziesz przegląd najważniejszych momentów i postaci, które przyczyniły się do rozwoju koncepcji liczb zespolonych.

Początki: XVI wiek

1. Lodovico Ferrari i Rafał Bombelli

Liczby zespolone zaczęły pojawiać się w matematyce w XVI wieku, kiedy włoscy matematycy starali się rozwiązać równania trzeciego stopnia (kubiczne). Lodovico Ferrari, włoski matematyk, jako pierwszy rozwiązał równanie kubiczne, ale nie rozumiał w pełni znaczenia liczb urojonych, które pojawiły się w jego rozwiązaniach.

Rafał Bombelli, inny włoski matematyk, zrobił kolejny krok w rozwoju liczb zespolonych. W 1572 roku opublikował dzieło Algebra, w którym opisał, jak operować na liczbach urojonych, chociaż wciąż traktował je jako „sztuczne” rozwiązania bez głębszego znaczenia. Bombelli uznał liczby zespolone za przydatne narzędzie do rozwiązywania równań, mimo że nie były jeszcze w pełni akceptowane przez społeczność matematyczną.

XVII wiek: Powolna akceptacja

2. René Descartes

René Descartes, francuski filozof i matematyk, wprowadził w 1637 roku pojęcie „liczby urojonej”. Użył tego terminu, aby opisać pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych, które pojawiały się w rozwiązaniach równań. Descartes nie uznawał ich za prawdziwe liczby, ale dzięki niemu termin „urojony” wszedł do matematycznego słownika.

XVIII wiek: Pierwsze formalizacje

3. Leonhard Euler

Leonhard Euler, szwajcarski matematyk, odegrał kluczową rolę w rozwinięciu pojęcia liczb zespolonych. W XVIII wieku Euler zaczął używać symbolu $i$ do oznaczenia pierwiastka kwadratowego z $- 1$ , co stało się standardowym oznaczeniem liczby urojonej. W 1748 roku Euler wprowadził formułę znaną dziś jako wzór Eulera:

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$

Wzór ten łączył liczby zespolone z trygonometrią i pokazał ich głębokie znaczenie w matematyce.

4. Abraham de Moivre

Abraham de Moivre, francuski matematyk, który pracował w Anglii, odkrył wzór noszący jego imię:

$cos x + i\sin x)^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$

Wzór ten, opublikowany w 1730 roku, stanowił ważny krok w rozwijaniu analizy zespolonej i pokazał, jak potęgi liczb zespolonych mogą być wyrażone w postaci funkcji trygonometrycznych.

XIX wiek: Pełna akceptacja i rozwój

5. Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss, niemiecki matematyk, odegrał kluczową rolę w formalnym wprowadzeniu liczb zespolonych do matematyki. W 1831 roku Gauss wprowadził pojęcie płaszczyzny zespolonej (znanej również jako płaszczyzna Gaussa), gdzie każda liczba zespolona jest przedstawiana jako punkt na płaszczyźnie, z częścią rzeczywistą na osi $x$ i częścią urojoną na osi $y$ . Dzięki temu liczby zespolone zyskały wizualne i geometryczne przedstawienie, co pomogło w ich akceptacji przez społeczność naukową.

Gauss udowodnił także Fundamentalne Twierdzenie Algebry, które mówi, że każde n-tego stopnia równanie wielomianowe z liczbami zespolonymi ma dokładnie $n$ pierwiastków zespolonych. To twierdzenie było kluczowe dla uznania liczb zespolonych za pełnoprawne obiekty matematyczne.

6. Augustin-Louis Cauchy

Augustin-Louis Cauchy, francuski matematyk, wniósł znaczący wkład w rozwój analizy zespolonej. W XIX wieku Cauchy sformułował twierdzenia, które stanowiły fundamenty tej dziedziny, takie jak twierdzenie Cauchy’ego o całkach zespolonych, które opisuje warunki, pod jakimi całka krzywoliniowa funkcji zespolonej jest równa zeru. Dzięki jego pracy analiza zespolona stała się kluczową częścią matematyki.

XX wiek: Zastosowania i rozwój teorii

W XX wieku liczby zespolone stały się nieodłącznym elementem wielu dziedzin matematyki, fizyki i inżynierii. Ich zastosowania obejmują analizę funkcji, przetwarzanie sygnałów, teorię kwantową, elektrotechnikę, mechanikę falową, a także kryptografię i informatykę.

Liczby zespolone przeszły długą drogę od bycia „sztucznym” narzędziem używanym przez matematyka XVI wieku, do pełnoprawnej części matematyki z szerokim spektrum zastosowań. Dzięki pracy takich uczonych jak Bombelli, Euler, Gauss i Cauchy, liczby zespolone stały się kluczowym narzędziem we współczesnej nauce i technologii, pozwalając na zrozumienie i modelowanie zjawisk, które byłyby niemożliwe do opisania za pomocą jedynie liczb rzeczywistych.

Ktoś mógłby sądzić, że tak zwane liczby rzeczywiste są w takim samym stopniu jedynie wytworem wyobraźni matematyków jak liczby zespolone. Liczby zespolone, w takim samym stopniu jak rzeczywiste, a może nawet bardziej, istnieją w zadziwiającej symbiozie z otaczającą nas rzeczywistością. To tak, jak gdyby przyroda sama była pod podobnym jak my wrażeniem zakresu i spójności systemu liczb zespolonych i oddała w ich władanie precyzyjne operacje swojego świata w najbardziej mikroskopijnej skali.

"Droga do rzeczywistości" Roger Penrose

Rozdział II - o co chodzi?

Czym są liczby zespolone?

Liczby zespolone to liczby, które składają się z dwóch części: rzeczywistej i urojonej. Można je zapisać w postaci:

$z = a + bi$

Gdzie:

$a$ to część rzeczywista (zwykła liczba rzeczywista),
$b$ to część urojona (również liczba rzeczywista, ale stojąca przed literą $i$ ),
$i$ to tak zwana jednostka urojona, dla której $i^2 = -1$ .

Wprowadzenie liczby $i$ pozwala rozwiązać równania, które wcześniej nie miały rozwiązania w świecie liczb rzeczywistych. Na przykład równanie $x^2 + 1 = 0$ ma teraz dwa rozwiązania: $x = i$ oraz $x = -i$ .

Działania na liczbach zespolonych

Skoro wiemy już, czym są liczby zespolone, czas dowiedzieć się, jak na nich operować.

Dodawanie i odejmowanie: Aby dodać lub odjąć dwie liczby zespolone, po prostu dodajemy lub odejmujemy ich części rzeczywiste i urojoną osobno.
Przykład: $(2 + 3i) + (1 + 4i) = (2 + 1) + (3i + 4i) = 3 + 7i$ .
Mnożenie: Mnożenie liczb zespolonych polega na rozpraszaniu nawiasów, podobnie jak w algebrze, ale z uwzględnieniem, że $i^2 = -1$ .
Przykład: $(2 + 3i) \cdot (1 + 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i$ . Rozwijając to: $2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i – 12$ , bo $i^2 = -1$ . Wynik: $-10 + 11i$ .
Dzielenie: Dzielenie liczb zespolonych jest trochę bardziej skomplikowane, ale można to zrobić przez mnożenie liczby zespolonej przez tzw. sprzężenie zespolone.
Sprzężenie zespolone liczby $z = a + bi$ to $\overline{z} = a – bi$ .
Przykład: Aby podzielić $\frac{2 + 3i}{1 + 4i}$ , musimy pomnożyć licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika $1 – 4i$ :
$\frac{(2 + 3i)(1 – 4i)}{(1 + 4i)(1 – 4i)} = \frac{(2 \cdot 1 – 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 – 12i^2)}{1^2 – (4i)^2} = \frac{2 – 8i + 3i + 12}{1 + 16} = \frac{14 – 5i}{17}$
Wynik: $\frac{14}{17} – \frac{5}{17}i$ .

Interpretacja geometryczna

Liczby zespolone mają także interesującą interpretację geometryczną. Możemy je przedstawić na płaszczyźnie zespolonej (znanej również jako płaszczyzna Arganda). W takim układzie współrzędnych:

Oś pozioma (oś $x$ ) reprezentuje część rzeczywistą liczby zespolonej,
Oś pionowa (oś $y$ ) reprezentuje część urojoną liczby zespolonej.

Liczbę zespoloną $z = a + bi$ można więc przedstawić jako punkt na tej płaszczyźnie o współrzędnych $(a, b)$ .

Moduł i argument liczby zespolonej

Kiedy mamy liczbę zespoloną przedstawioną na płaszczyźnie, możemy wyznaczyć jej moduł i argument.

Moduł liczby zespolonej $z = a + bi$ to jej odległość od początku układu współrzędnych i oblicza się go jako:
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
Argument (oznaczany jako $\arg(z)$ ) to kąt, jaki tworzy promień liczby zespolonej z osią rzeczywistą.

Argument liczby zespolonej można obliczyć za pomocą funkcji tangens (dla $z = a + bi$ ):

$\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$

Rozdział III - zastosowanie liczb zespolonych

Liczby zespolone, choć mogą wydawać się domeną zaawansowanej matematyki i fizyki, mają zaskakująco wiele zastosowań w codziennym życiu. Oto kilka przykładów, gdzie liczby zespolone znajdują swoje miejsce w praktycznych i często używanych technologiach oraz sytuacjach.

1. Technologia telekomunikacyjna

Liczby zespolone odgrywają kluczową rolę w technologii telekomunikacyjnej, która jest podstawą współczesnej komunikacji. Wszelkie technologie bezprzewodowe, takie jak telefonia komórkowa, Wi-Fi, Bluetooth czy GPS, wykorzystują liczby zespolone do analizy sygnałów radiowych. W procesie modulacji i demodulacji sygnałów, sygnał jest reprezentowany jako liczba zespolona, co umożliwia efektywne kodowanie i przesyłanie informacji na duże odległości.

2. Obwody elektryczne i elektroniczne

Liczby zespolone są niezbędne do analizy obwodów prądu zmiennego (AC), które są powszechnie stosowane w naszych domach i biurach. Każdy czas, gdy włączamy światło, używamy urządzeń elektronicznych, czy podłączamy sprzęt AGD, korzystamy z prądu zmiennego, którego analiza wymaga operacji na liczbach zespolonych. Inżynierowie wykorzystują liczby zespolone do projektowania i optymalizacji obwodów, zapewniając, że urządzenia działają efektywnie i bezpiecznie.

3. Technologia obrazowania medycznego

W medycynie liczby zespolone są stosowane w technologii obrazowania, takiej jak rezonans magnetyczny (MRI). Sygnały odbierane przez urządzenia MRI są analizowane za pomocą matematyki zespolonej, co pozwala na tworzenie precyzyjnych obrazów wewnętrznych struktur ciała. Dzięki temu lekarze mogą dokładnie diagnozować choroby i planować leczenie.

4. Grafika komputerowa i przetwarzanie sygnałów

Liczby zespolone są wykorzystywane w grafice komputerowej, zwłaszcza w obróbce obrazów i sygnałów. Algorytmy przetwarzania obrazu, takie jak transformata Fouriera, która jest kluczowa w kompresji i analizie obrazów, operują na liczbach zespolonych. Dzięki temu możemy cieszyć się wysokiej jakości grafiką w grach, filmach, a także w programach do edycji zdjęć.

5. Stabilność budynków i inżynieria lądowa

W inżynierii lądowej liczby zespolone są używane do analizy stabilności konstrukcji, takich jak budynki, mosty czy tamy. Wibracje i drgania, które mogą wpływać na te struktury, są modelowane za pomocą liczb zespolonych, co pozwala inżynierom przewidzieć i zapobiec potencjalnym uszkodzeniom. Dzięki temu możemy czuć się bezpieczniej, wiedząc, że budynki, w których mieszkamy i pracujemy, są zaprojektowane z uwzględnieniem najbardziej zaawansowanych narzędzi matematycznych.

6. Energia odnawialna

Systemy energii odnawialnej, takie jak turbiny wiatrowe i panele słoneczne, również korzystają z analizy zespolonej. Zarządzanie i optymalizacja pracy tych systemów, w tym kontrola inwerterów i konwerterów energii, opiera się na liczbach zespolonych. Przykładowo, przekształcanie energii elektrycznej z paneli słonecznych z prądu stałego na zmienny wymaga zaawansowanej analizy, która wykorzystuje liczby zespolone.

7. Codzienna technologia cyfrowa

Liczby zespolone są także ukryte w wielu urządzeniach, z których korzystamy na co dzień, takich jak telewizory, komputery, smartfony, a nawet pralki. Procesory sygnałowe DSP (od ang. digital signal processor), które są kluczowe w tych urządzeniach, używają liczb zespolonych do przetwarzania danych audio, wideo oraz komunikacyjnych. Dzięki nim możemy słuchać muzyki, oglądać filmy w wysokiej jakości czy prowadzić wideorozmowy.

Rozdział IV - liczby jeszcze bardziej złożone

1. Liczby hiperzespolone

Liczby hiperzespolone to ogólna kategoria, która obejmuje różne rozszerzenia liczb zespolonych. Są one budowane poprzez dalsze rozszerzanie struktury algebry liczb zespolonych na bardziej złożone systemy liczbowe.

2. Liczby kwaternionowe

Kwaterniony są jednym z najbardziej znanych rozszerzeń liczb zespolonych, wprowadzonych przez Williama Rowana Hamiltona w 1843 roku. Każdy kwaternion jest postaci:

$q = a + bi + cj + dk,$

gdzie $a, b, c, d$ są liczbami rzeczywistymi, a $i, j, k$ to jednostki urojone, które spełniają specyficzne reguły mnożenia:

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.$

Kwaterniony są czterowymiarowymi liczbami, które znajdują zastosowanie w grafice komputerowej, mechanice kwantowej, a także w opisie obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.

3. Liczby oktonionowe

Oktoniony są kolejnym rozszerzeniem, które ma osiem wymiarów. Każdy oktonion jest postaci:

$o = a_0 + a_1e_1 + a_2e_2 + \dots + a_7e_7,$

gdzie $a_0, a_1, \dots, a_7$ są liczbami rzeczywistymi, a $e_1, e_2, \dots, e_7$ to jednostki urojone, które spełniają bardziej złożone reguły mnożenia niż te w przypadku kwaternionów.

Oktoniony są jednak algebrą nieprzemienną (czyli $xy \neq yx$ ) i nieskojarzoną (czyli $(xy)z \neq x(yz)$ ). Mimo że są trudniejsze do pracy, znajdują zastosowanie w niektórych gałęziach fizyki, w szczególności w teorii strun i teorii supergrawitacji.

4. Liczby sedenionowe

Sedeniony to kolejny krok w rozszerzaniu algebr liczb hiperzespolonych, mające 16 wymiarów. Każdy sedenion jest kombinacją 16 jednostek urojonych. Podobnie jak oktoniony, sedeniony są nieprzemienne i nieskojarzone, ale dodatkowo nie są dzielne (czyli mogą mieć dzielniki zera). Z tego powodu, sedeniony mają ograniczone zastosowania w porównaniu do kwaternionów i oktonionów.

5. Liczby Cliffordowskie i spinory

Liczby Cliffordowskie, zwane także algebrami Cliffordowskimi, to kolejne rozszerzenie używane w geometrii i fizyce, w szczególności w teorii kwantowej i teorii względności. Spinory są specyficznym przypadkiem liczb Cliffordowskich, które opisują obiekty kwantowe z własnościami spinowymi.

6. Liczby p-adyczne

Liczby p-adyczne to rodzaj liczb, które rozszerzają pojęcie liczb całkowitych i wymiernych, ale zamiast rozszerzać przestrzeń wymiarową, zmieniają sposób mierzenia odległości między liczbami. Znajdują one zastosowanie w teorii liczb i analizie p-adic, a także w fizyce i geometrii algebraicznej.

Podsumowanie

Liczby zespolone stanowią ważny krok w rozszerzeniu pojęcia liczb, ale istnieją jeszcze bardziej złożone struktury, takie jak kwaterniony, oktoniony, sedeniony i inne liczby hiperzespolone. Te bardziej zaawansowane liczby są używane w różnych dziedzinach matematyki, fizyki i technologii, oferując narzędzia do analizy zjawisk w wyższych wymiarach lub w bardziej złożonych systemach.